横須賀市営墓地が当選したのですが

実はお寺の檀家になっていてそこにもお墓があります。
どんな順序でお墓を映していったらよいのでしょうか?

まず最初の2択です
檀家のままで、お墓を移す or 檀家をやめる
この選択で結構その後の流れが大きく左右されます。

どちらにしても次に行うことはお寺に相談をすることです。
丁寧にちゃんと向き合って
簡単に出ていきたいからとか言ってしまうと、相手の心証を害することもありますよ。

で、話し合いがまとまったら
お墓の準備と同時に改葬の手続きに入ります。
同じ市内でも(今回の募集の方は100%横須賀在住でも、お墓は別のところにある可能性もあるので)そうでなくても、今お墓のある市町村の書類で改葬許可申請が必要です。そこを気を付けてくださいね。
そしてお墓の準備ですが、今あるお墓を使う、一部使う、全く使わないなどの選択の余地があります。

現状が和型のお墓だけど芝墓地になったといった場合使える部分は少ないですが、工夫次第では可能です。ここは担当する石材店の腕とアイデアの見せどころです。

最終的にお墓が完成し移転できるようになったら(前もって取り出しておくことも可能です)お寺のお墓をしまう流れとなります。
お布施などのことに関しては一般論をお話しすることはできますがこちらで金額はこのくらいですとお伝えはしません。その家庭とお寺さんのお付き合いに関することですのでご了承ください。